Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，并滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1
（1）求f（1）的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)t，使f（t）=2，求t的值；
（3）如果f（4x-5）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化f（16）=2，即可由f（t）=2，求出t的值；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化f（4x-5）＜2，即可求x的取值范圍．

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）由f（4）=1，所以f（4）+f（4）=2，即f（16）=2，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以t=16；
（3）由（2）知，f（16）=2，所以f（4x-5）＜2=f（16），0＜4x-5＜16，

5

4

＜x＜

21

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，賦值法以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．