Question

1．已知過拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F且斜率為$\frac{3}{4}$的直線與拋物線C在第一象限的交點為P，且|PF|=5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F且斜率不為0直線l交拋物線C于M，N兩點，拋物線C的準線與x軸交于點K，求證：直線KM與KN關(guān)于y軸對稱．

Answer 1

分析 （1）設P（x₀，y₀），過P作PA⊥y軸于A，分析可得${y_0}=\frac{p}{2}+3$，結(jié)合拋物的定義得$\frac{p}{2}+{y_0}=5$，解可得p的值，代入拋物線的方程即可得答案；
（2）根據(jù)題意，設直線KM和KN的斜率分別為k₁，k₂，由（1）得F與K的坐標，設直線l的方程為y=kx+1，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得x²-4kx-4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系分析可得，${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}+1}}{x_1}+\frac{{{y_2}+1}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{-8k+8k}{{{x_1}{x_2}}}=0$，即可得證明．

解答 解：（1）設P（x₀，y₀），過P作PA⊥y軸于A，
∵直線PF的斜率為$\frac{3}{4}$，∴$cos∠AFP=\frac{3}{5}$，
∵|PF|=5，∴|PA|=3，則${y_0}=\frac{p}{2}+3$，
由拋物線的定義得$\frac{p}{2}+{y_0}=5$，得p=2
∴拋物線方程為x²=4y．
（2）證明：設直線KM和KN的斜率分別為k₁，k₂，
由（1）得F（0，1），K（0，-1），
設直線l的方程為y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵k≠0，∴A與M不重合，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}+1}}{x_1}+\frac{{{y_2}+1}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{-8k+8k}{{{x_1}{x_2}}}=0$，
∴直線KMG與KN關(guān)于y軸對稱，

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出拋物線的標準方程．