Question

14．已知圓C：（x-1）²+y²=9內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)P作直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)弦AB最短時(shí)，寫出直線l的方程；
（3）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心，代入直線方程，求出直線的斜率，即可求直線l的方程；
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，弦AB最短，求出直線的斜率，即可寫出直線l的方程；
（3）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，求出直線的斜率，然后求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離，半徑，半弦長(zhǎng)的關(guān)系求弦AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）已知圓C：（x-1）²+y²=9的圓心為C（1，0），
因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)P，C，所以直線l的斜率為2，所以直線l的方程為y=2（x-1），即2x-y-2=0．
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，弦AB最短，此時(shí)l⊥PC，直線l的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-6=0．
（3）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，斜率為1，直線l的方程為y-2=x-2，即x-y=0．
圓心到直線l的距離為$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圓的半徑為3，弦AB的長(zhǎng)為：2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查直線與圓的位置關(guān)系，計(jì)算直線的斜率，點(diǎn)到直線的距離；直線與圓的特殊位置關(guān)系的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．