Question

19．已知點(diǎn)A，B是拋物線(xiàn)y²=4x上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M（3，2）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則|AB|的值為（　�。�

• A． 4
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及作差法，求得直線(xiàn)AB的斜率公式，求得直線(xiàn)直線(xiàn)AB的方程，代入拋物線(xiàn)方程，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理，即可求得|AB|的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：y₁+y₂=4，
兩式相減可得，（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），
則直線(xiàn)AB的斜率k，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
直線(xiàn)AB的方程為y-2=x-3即y=x-1，
聯(lián)立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，x²-6x+1=0，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{6}^{2}-4}$=8，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．