Question

4．已知點(diǎn)M（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)，若A（-4，0），B（-1，0），且△ABM中|MA|=2|MB|．
（Ⅰ） 求點(diǎn)M的軌跡C的方程及求△ABM的周長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ） 直線MB與軌跡C的另一交點(diǎn)為M'，求$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用直接法點(diǎn)M的軌跡C的方程；利用特殊位置，即可求△ABM的周長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ） 直線MB與軌跡C的另一交點(diǎn)為M'，$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$=|$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$|=t，利用韋達(dá)定理，即可求$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則由題意可得（x+4）²+y²=4（x+1）²+4y²，
化簡(jiǎn)可得x²+y²=4．
當(dāng)M在（-2，0）時(shí)，|MA|+|MB|=3，M在（2，0）時(shí)，|MA|+|MB|=9，
∴△ABM的周長(zhǎng)的取值范圍是（6，12）；
（Ⅱ） 設(shè)直線MB的方程為x=my-1，代入x²+y²=4，整理可得（m²+1）y²-2my-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），M′（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+1}$
$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$=|$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$|=t，則y₁=-ty₂，
聯(lián)立3個(gè)方程可得$\frac{t}{（1-t）^{2}}$=$\frac{3}{4}$（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$），
∴$\frac{t}{（1-t）^{2}}$＞$\frac{3}{4}$，解得$\frac{1}{3}＜t＜3$，
∴$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．