Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且_n+1=1+S_n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．
（1）試求當(dāng)a₁為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n取得最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式可得a_n+1=2a_n，再由數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列求得首項(xiàng)，并求出數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$，可得數(shù)列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$是遞減數(shù)列，可知當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的項(xiàng)為正數(shù)，n=10時(shí)，數(shù)列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的項(xiàng)為負(fù)數(shù)，則答案可求．

解答 解：（1）由a_n+1=1+S_n得：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=1+S_n-1，
兩式相減得：a_n+1=2a_n，
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴a₂=2a₁，
又∵a₂=1+S₁=1+a₁，解得：a₁=1．
得：${a_n}={2^{n-1}}$；
（2）$lg\frac{400}{{a}_{n}}=lg\frac{400}{{2}^{n-1}}$，可知數(shù)列$\{lg\frac{400}{{{2^{n-1}}}}\}$是一個(gè)遞減數(shù)列，
∴$lg\frac{400}{2^0}＞lg\frac{400}{2^1}＞lg\frac{400}{2^2}＞…＞lg\frac{400}{2^8}＞0＞lg\frac{400}{2^9}＞…$，
由此可知當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列$\left\{{lg\frac{400}{a_n}}\right\}$的前項(xiàng)和T_n取最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．