Question

16．若適合不等式|x²-4x+k|+|x-3|≤5的x的最大值為3，則實數k的值為8．

Answer 1

分析 原不等式等價于|x²-4x+k|-x+3≤5，設 x²-5x+k-2=0 的根分別為x₁和x₂，x₁＜x₂，x²-3x+k+2=0的根分別為x₃和 x₄，x₃＜x₄．則分x₂=3 和 x₄=3 兩種情況，分別求得k的值．

解答 解：因為x的最大值為3，故x-3＜0，
原不等式等價于|x²-4x+k|-x+3≤5，
即-x-2≤x²-4x+k≤x+2，
則 x²-5x+k-2≤0且x²-3x+k+2≥0解的最大值為3，
設 x²-5x+k-2=0 的根分別為x₁和x₂，x₁＜x₂，
x²-3x+k+2=0的根分別為x₃和 x₄，x₃＜x₄．
則x₂=3，或 x₄=3．
若x₂=3，則9-15+k-2=0，k=8，
若x₄=3，則9-9+k+2=0，k=-2．
當k=-2時，原不等式無解，
檢驗得：k=8 符合題意，
故答案為：8．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解．體現(xiàn)了分類討論的數學思想，屬于中檔題．