Question

9．已知函數(shù)f（x）=2x³-3ax²+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x=2處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（2）=0，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（3）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最小值即可．

解答 解：（1）f'（x）=6x²-6ax，
因為f（x）在x=2處取得極值，所以f'（2）=0，解得a=2．
（2）f'（x）=6x（x-a），
①當a=0時，f'（x）=6x²≥0，則f（x）在y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R上為增函數(shù)；
②當a＜0時，由f'（x）=6x（x-a）＞0得x＜a或$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$；
③當a＞0時，由f'（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0．
即當a=0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，a）和（0，+∞）；
當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（a，+∞）．
（3）①當a≤0時，由（2）可知，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（0）=1；
②當0＜a＜2時，可知，f（x）在[0，a）上單調(diào)遞減，在（a，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（a）=1-a³；
③當a≥2時，可知，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最小值為f（2）=17-12a．
即當a≤0時，f（x）的最小值為f（0）=1；
當0＜a＜2時，f（x）的最小值為f（a）=1-a³；
當a≥2時，f（x）的最小值為f（2）=17-12a．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．