設(shè)橢圓C： (a>b>0)的離心率為，過(guò)原點(diǎn)O斜率為1的直線與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，橢圓右焦點(diǎn)F到直線l的距離為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)P是橢圓上異于M，N外的一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率存在且不為零時(shí)，記直線PM的斜率為k1，直線PN的斜率為k2，試探究k1·k2是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由．

(1)；(2) k1·k2是為定值－.

解析試題分析：(1)由橢圓C： (a>b>0)的離心率為可得,又由橢圓右焦點(diǎn)F(c,0)到直線l的距離為,由點(diǎn)到直線的距離公式得＝，從而求得c的值，代入求得a的值；再注意到從而求得b的值,因此就可寫出所求橢圓C的方程; (2)由過(guò)原點(diǎn)O斜率為1的直線方程為：y=x，聯(lián)立橢圓C與直線L的方程就可求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式就可用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出kPM·kPN，再注意點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，從而就可求出k1·k2＝kPM·kPN是否與點(diǎn)P的坐標(biāo)有關(guān)，若與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān)則k1·k2的值為定值；否則不為定值．
試題解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，焦點(diǎn)F(c,0)，直線l：x－y＝0，
F到l的距離為＝，解得c＝2，
又∵e＝＝，∴a＝2，∴b＝2.
∴橢圓C的方程為.
(2)由解得x＝y(tǒng)＝，或x＝y(tǒng)＝－，
不妨設(shè)M，N，P(x，y)，
∴kPM·kPN＝
由，即，代入化簡(jiǎn)得k1·k2＝kPM·kPN＝－為定值．
考點(diǎn)：１．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；２．直線與橢圓的位置關(guān)系．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線C：y2=2x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l垂直于x軸，求|﹣|的值；
（Ⅱ）求三角形OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓過(guò)和點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

定義：我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度之比即，叫做橢圓的離心率.若兩個(gè)橢圓的離心率相同，稱這兩個(gè)橢圓相似.
（1）判斷橢圓與橢圓是否相似？并說(shuō)明理由；
（2）若橢圓與橢圓相似，求的值；
（3）設(shè)動(dòng)直線與（2）中的橢圓交于兩點(diǎn)，試探究：在橢圓上是否存在異于的定點(diǎn)，使得直線的斜率之積為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的距離為2，橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（0，2）. 若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

已知點(diǎn)是雙曲線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，為半焦距，的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，則         .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

橢圓的離心率為，若直線與其一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為                

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同步練習(xí)冊(cè)答案