Question

5．設實數x、y滿足x+2xy-1=0，則x+y取值范圍是$（-∞，-\sqrt{2}-\frac{1}{2}]$∪$[\sqrt{2}-\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 由x+2xy-1=0，可得y=$\frac{1-x}{2x}$，（x≠0）．則x+y=x+$\frac{1-x}{2x}$=x+$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$，對x分類討論，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵x+2xy-1=0，∴y=$\frac{1-x}{2x}$，（x≠0）．
則x+y=x+$\frac{1-x}{2x}$=x+$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$，
x＞0時，x+y≥$2\sqrt{x•\frac{1}{2x}}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
x＜0時，x+y=$-（-x+\frac{1}{-2x}）$-$\frac{1}{2}$≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{1}{-2x}}$-$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，當且僅當x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
綜上可得：x+y取值范圍是$（-∞，-\sqrt{2}-\frac{1}{2}]$∪$[\sqrt{2}-\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案為：$（-∞，-\sqrt{2}-\frac{1}{2}]$∪$[\sqrt{2}-\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．