Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的普通方程為x²+y²-2y=0，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)M（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，MA切圓C于點(diǎn)A，求|MA|的最小值，及此時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得直線l的普通方程，由此能求出直線l的極坐標(biāo)方程．
（2）圓C的普通方程為x²+y²-2y=0，圓心C（0，1），半徑r=1，求出圓心C（0，1）到直線l的距離d=$\sqrt{5}$，從而|MA|的最小值|MA|_min=$\sqrt{ejm2wrp^{2}-{r}^{2}}$=2，此時(shí)${k}_{OM}=\frac{1}{2}$，直線OM的方程為：y=$\frac{1}{2}x+1$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，求出M（-2，0），由此有求出點(diǎn)M的極坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為：2x+y+4=0，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ+4=0．
（2）圓C的普通方程為x²+y²-2y=0，圓心C（0，1），半徑r=1，
M（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，MA切圓C于點(diǎn)A，
∵圓心C（0，1）到直線l的距離d=$\frac{|0+1+4|}{\sqrt{4+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴|MA|的最小值|MA|_min=$\sqrt{8zhvnhe^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{5-1}$=2，
此時(shí)${k}_{OM}=\frac{1}{2}$，直線OM的方程為：y=$\frac{1}{2}x+1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，得x=-2，y=0，∴M（-2，0），
∴$ρ=\sqrt{4+0}$=2，θ=π，
∴點(diǎn)M的極坐標(biāo)為M（2，π）．

點(diǎn)評 本題考查直線、曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．