Question

6．已知橢圓C：mx²+3my²=1（m＞0）的長軸長為$2\sqrt{6}$，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程和離心率．
（2）設(shè)點A（3，0），動點B在y軸上，動點P在橢圓C上，且點P在y軸的右側(cè)．若BA=BP，求四邊形OPAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）將橢圓方程化為標準方程，由題意可得a，可得b，即可得到橢圓方程，再由離心率公式計算即可得到所求值；
（2）設(shè)AP中點為D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，進而得到BD的斜率和中點，可得直線BD的方程，即有B的坐標，求得四邊形OPAB的面積為S=S_△OAP+S_△OMB，化簡整理，運用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（1）由題意知橢圓C：$\frac{x^2}{{\frac{1}{m}}}+\frac{y^2}{{\frac{1}{3m}}}=1$，
所以${a^2}=\frac{1}{m}$，${b^2}=\frac{1}{3m}$，
故$2a=2\sqrt{\frac{1}{m}}=2\sqrt{6}$，解得$m=\frac{1}{6}$，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
因為$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=2$，所以離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）設(shè)線段AP的中點為D．
因為BA=BP，所以BD⊥AP．
由題意知直線BD的斜率存在，
設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），
則點D的坐標為$（\frac{{{x_0}+3}}{2}，\frac{y_0}{2}）$，直線AP的斜率${k_{AP}}=\frac{y_0}{{{x_0}-3}}$，
所以直線BD的斜率${k_{BD}}=-\frac{1}{{{k_{AP}}}}=\frac{{3-{x_0}}}{y_0}$，
故直線BD的方程為$y-\frac{y_0}{2}=\frac{{3-{x_0}}}{y_0}（x-\frac{{{x_0}+3}}{2}）$．
令x=0，得$y=\frac{x_0^2+y_0^2-9}{{2{y_0}}}$，故$B（0，\frac{x_0^2+y_0^2-9}{{2{y_0}}}）$．
由$\frac{x_0^2}{6}+\frac{y_0^2}{2}=1$，得$x_0^2=6-3y_0^2$，化簡得$B（0，\frac{-2y_0^2-3}{2y_0^2}）$．
因此，S_{四邊形OPAB}=S_△OAP+S_△OAB=$\frac{1}{2}×3×|{y_0}|+\frac{1}{2}×3×|\frac{{-2{y_0}^2-3}}{{2{y_0}}}|$
=$\frac{3}{2}（|{y_0}|+|\frac{{-2{y_0}^2-3}}{{2{y_0}}}|）$=$\frac{3}{2}（2|{y_0}|+\frac{3}{{2|{y_0}|}}）$$≥\frac{3}{2}×2\sqrt{2|{y_0}|×\frac{3}{{2|{y_0}|}}}$=$3\sqrt{3}$．
當且僅當$2|{y_0}|=\frac{3}{{2|{y_0}|}}$時，即${y_0}=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$時等號成立．
故四邊形OPAB面積的最小值為$3\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和離心率的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)和離心率公式，考查四邊形面積的最值的求法，注意運用直線的斜率公式和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．