【題目】如圖,在正方體中, 分別是線段的中點.

(1)求異面直線所成角的大;

(2)求直線與平面所成角的大。

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:方法一:以為原點,直線, , ,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量,可求兩異面直線所成角,需要注意異面直線所成角范圍是。線面角只需求出直線的方向向量與平面的法向量,利用公式可求解,注意線面角范圍。方法二:異面直線所成角另一種方法就是通過平移,把兩異面直平移到同一平面。作,聯(lián)結(jié),有,故異面直線所成的角就是(或其補(bǔ)角).平面∥平面,故直線與平面所成角的大小就是直線與平面所成角.注意到平面,即平面,所以直線與平面所成角的大小即為

試題解析:(1)方法一:設(shè)正方體棱長為,以為原點,直線, , ,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則, , , ,故, , ,

設(shè)異面直線所成角的大小為,向量所成角為,則 ,注意到,故,即異面直線所成角的大小為

(2)由(1)可知,平面的一個法向量是,設(shè)直線與平面所成角的大小是,向量所成角為,則

, ,即直線與平面所成角的大小為

方法二:設(shè)正方體棱長為

(1)在面內(nèi),作,聯(lián)結(jié).因為正方體

,所以;在面內(nèi),有,故異面直線所成的角就是(或其補(bǔ)角).

由已知及作圖可知, 的中點,于是,在中,易得,

,故,

,所以,從而異面直線所成角的大小為

(2)因為正方體,所以平面∥平面,故直線與平面所成角的大小就是直線與平面所成角.注意到平面,即平面,所以直線與平面所成角的大小即為

中,易得,故 ,

,故,即直線與平面所成角的大小為

點睛:對于長方體中求線線角,線面角的問題,規(guī)則圖形用空間向量更容易解決。線線角的普通方法常用平移到同一個平面。線面角也是通過平移形成直線與平面相交,再在三角形中計算。

練習(xí)冊系列答案
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【題目】由于某種商品開始收稅,使其定價比原定價上漲x成(即上漲率為 ),漲價后商品賣出的個數(shù)減少bx成,稅率是新價的a成,這里a,b均為常數(shù),且a<10,用A表示過去定價,B表示過去賣出的個數(shù).
(1)設(shè)售貨款扣除稅款后,剩余y元,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)要使y最大,求x的值.

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【題目】已知函數(shù)

)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;

)設(shè)函數(shù)在點處的切線為,直線軸相交于點.若點的縱坐標(biāo)恒小于1,求實數(shù)的取值范圍.

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A.
B.
C.
D.2

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(1)當(dāng)a=5時,求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值;
(2)當(dāng)a=3時,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.

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【題目】春節(jié)期間,“厲行節(jié)約,反對浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開,某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動,得到如下的列聯(lián)表:

做不到“光盤”

能做到“光盤”

45

10

30

15

P(K2≥k)

0.10

0.05

0.025

k

2.706

3.841

5.024

附:
參照附表,得到的正確結(jié)論是(
A.在犯錯誤的概率不超過l%的前提下,認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過l%的前提下,認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”
C.有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”
D.有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”

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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(2x+3﹣x2).
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(2)求f(x)的最大值,并求出取得最大值時x的值;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log4[(a+2)x+4],若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣1,0)∪(0,1)
D.(0,1)∪(1,+∞)

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