Question

6．過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，若|AF|=4，則△AOB的面積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線(xiàn)的定義和性質(zhì)，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），可以求出A坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)AB的方程，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式加以計(jì)算，即可得到△AOB的面積．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）．準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，
設(shè)不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵|AF|=4
∴x₁+1=4，
解得x₁=3，
∴y₁=2$\sqrt{3}$，
∴直線(xiàn)AB的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3-1}$=$\sqrt{3}$
∴直線(xiàn)AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$，整理可得3x²-10x+3=0，
解得x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$
當(dāng)x₂=$\frac{1}{3}$時(shí)，y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
因此△AOB的面積為：
S=_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁|+$\frac{1}{2}$|OF|•|y₂|=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB，在已知AF長(zhǎng)的情況下求△AOB的面積．著重考查了拋物線(xiàn)定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．