Question

10．現(xiàn)有3個(gè)命題：
P₁：函數(shù)f（x）=lgx-|x-2|有2個(gè)零點(diǎn)
p₂：?x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），sinx+$\sqrt{3}$cosx=$\sqrt{2}$
p₃：若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，則 a、b、c、d中至少有1個(gè)為負(fù)數(shù)．
那么，這3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 畫出圖形，數(shù)形結(jié)合判斷命題P₁；利用輔助角公式化積，求出x值判斷命題P₂；利用反證法證明命題P₃．

解答 解：由f（x）=lgx-|x-2|=0，得lgx=|x-2|，
作出函數(shù)y=lgx，y=|x-2|的圖象如圖：
由圖可知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f（x）=lgx-|x-2|有2個(gè)零點(diǎn)，故P₁為真命題；
∵sinx+$\sqrt{3}cosx=2sin（x+\frac{π}{3}）=\sqrt{2}$，∴sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}$），則x+$\frac{π}{3}=\frac{3}{4}π$，即x=$\frac{5π}{12}$，故P₂為真命題；
P₃為真命題．用反證法證明如下：
假設(shè)a、b、c、d沒有1個(gè)為負(fù)數(shù)，即a≥0、b≥0、c≥0、d≥0，∴ad+bc≥0，
∵a+b=c+d=2，∴（a+b）（c+d）=ac+bd+ad+bc=4，
∵ac+bd＞4，∴ad+bc＜0，這與ad+bc≥0矛盾，故P₃為真命題．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定方法，訓(xùn)練了利用反證法證明不等式，是中檔題．