Question

19．已知O為直角坐標系的坐標原點，雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞a＞0）$上有一點$P（\sqrt{5}，m）$（m＞0），點P在x軸上的射影恰好是雙曲線C的右焦點，過點P作雙曲線C兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線的交點分別為A，B，若平行四邊形PAOB的面積為1，則雙曲線的標準方程是（　�。�

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{6}=1$
• D． $\frac{x^2}{{\frac{3}{2}}}-\frac{y^2}{{\frac{7}{2}}}=1$

Answer 1

分析 求得直線l的方程，求得A點坐標，求得|OA|，利用點到直線的距離公式，求得d，由|OA|•d=1，即可求得a和b的直線，求得雙曲線的標準方程．

解答 解：由題意可知：在x軸上的射影恰好是雙曲線C的右焦點，即c=$\sqrt{5}$，
由雙曲線方程可得漸近線方程bx±ay=0，
由$P（\sqrt{5}，m）$（m＞0），設(shè)過P平行于bx+ay=0的直線為l，
則l的方程為：bx+ay-b$\sqrt{5}$-am=0，l與漸近線bx-ay=0交點為A，
則A（$\frac{b\sqrt{5}+am}{2b}$，$\frac{b\sqrt{5}+am}{2a}$），|OA|=|$\frac{b\sqrt{5}+am}{2}$|$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}^{2}}}$，
P點到OA的距離是：d=$\frac{丨b\sqrt{5}-am丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
∵|OA|•d=1，∴|$\frac{b\sqrt{5}+am}{2}$|$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}^{2}}}$•$\frac{丨b\sqrt{5}-am丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
5b²-a²m²=2ab，
由P在雙曲線上，5b²-a²m²=a²b²，
且a²+b²=5，
∴b=2，a=1，
∴雙曲線的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線標準方程，直線與橢圓的關(guān)系，注意運用漸近線方程和兩直線平行的條件：斜率相等，聯(lián)立方程求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．