Question

10．已知函數(shù)$f（x）=4cosωxcos（ωx+\frac{π}{3}），（ω＞0）$的最小正周期為π．
（1）求ω的值；  
（2）討論f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進行化簡，再利用周期公式求ω的值．
（2）當x在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求單調(diào)性．

解答 解：函數(shù)$f（x）=4cosωxcos（ωx+\frac{π}{3}），（ω＞0）$．
化簡得Lf（x）=4cosωx（$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）=2cos²ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx=1+cos2ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx=2cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）+1．
（1）因為函數(shù)$f（x）=4cosωxcos（ωx+\frac{π}{3}），（ω＞0）$的最小正周期為π，即T=$\frac{2π}{2ω}=π$，
解得：ω=1，
則：f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1．
故得ω的值為1，
（2）由（1）可得f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1．
當x在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上時，故得：$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤2π$，
當$\frac{π}{3}$$≤2x+\frac{π}{3}≤π$時，即$0≤x≤\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1為減函數(shù)．
當π$≤2x+\frac{π}{3}≤2π$時，即$\frac{π}{3}≤x≤\frac{5π}{6}$時，函數(shù)f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1為增函數(shù)．
所以，函數(shù)f（x）=2cos（2x$+\frac{π}{3}$）+1為減區(qū)間為$[0，\frac{π}{3}]$，增區(qū)間為$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．