Question

對任意的x∈R，函數f（x）=x³+ax²+7ax不存在極值點的充要條件是（　　）

• A、a=0或a=7
• B、a＜0或a＞21
• C、0≤a≤21
• D、a=0或a=21

Answer 1

考點：函數在某點取得極值的條件

專題：函數的性質及應用

分析：由于函數f（x）=x³+ax²+7ax（x∈R）不存在極值，可得f′（x）≥0恒成立，求解出一元二次不等式即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵函數f（x）=x³+ax²+7ax（x∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+7a，
∵函數f（x）=x³+ax²+7ax（x∈R）不存在極值，且f′（x）的圖象開口向上，
∴f′（x）≥0對x∈R恒成立，
∴△=4a²-84a≤0，
解得0≤a≤21，
∴a的取值范圍是0≤a≤21．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，解題時要注意運用極值點必定是導函數對應方程的根，而導函數對應方程的根不一定是極值點．考查了轉化化歸的數學思想方法．屬于中檔題．