Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²+1，曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=bx+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程F（x）=f（x）-mx有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），x₀是x₁與x₂的等差中項；
（i）求實數(shù)m的取值范圍；
（ii）求證：f′（x₀）＜0 （ f′（x）為f（x）的導函數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出a，b的值，ϕ_min（x）=ϕ（ln2）=2-2ln2
（2）先求導，分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值，（i）結(jié)合圖象m∈（2-2ln2，+∞），
（ii）由圖易知：x₁＜ln2＜x₂設(shè)F（x）=ϕ（x）-ϕ（2ln2-x）  （x＜ln2），再求導，求出函數(shù)極值點，再根據(jù)等差中項的性質(zhì)ϕ′（x₀）＜0，問題得以證明．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a+1，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：y-e+a-1=（e-2a）x-e+2a，
即：y=（e-2a）x+a+1，
由題意：e-2a=b，a+1=2，
∴a=1，b=e-2
（2）由（1）知：f（x）=e^x-x²+1，f′（x）=e^x-2x，
∴F′（x）=f′（x）-m=e^x-2x-m，
令ϕ（x）=e^x-2x，則ϕ′（x）=e^x-2，由ϕ′（x）＜0得：x＜ln2；
由ϕ′（x）＞0得：x＞ln2；
∴ϕ（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增；
當x→+∞時，ϕ（x）→+∞，當x→-∞時，ϕ（x）→+∞；
ϕ（x）的圖象如圖所示：
ϕ_min（x）=ϕ（ln2）=2-2ln2，
（i）若使ϕ（x）=f′（x）=e^x-2x=m有兩個解x₁，x₂，則應有：m＞2-2ln2
∴m∈（2-2ln2，+∞），
（ii）由圖易知：x₁＜ln2＜x₂
設(shè)F（x）=ϕ（x）-ϕ（2ln2-x）  （x＜ln2），
則F′（x）=ϕ′（x）+ϕ′（2ln2-x）=e^x-2+e^2ln2-x-2=e^x+$\frac{4}{ex}$-4≥0，
∴F（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＜F（ln2）=0，
即：ϕ（x）-ϕ（2ln2-x）＜0，
即ϕ（x）＜ϕ（2ln2-x），
∵x₁∈（-∞，ln2），∴ϕ（x₁）＜ϕ（2ln2-x₁），
∵ϕ（x₁）=ϕ（x₂）=m，∴ϕ（x₂）＜ϕ（2ln2-x₁），
∵ϕ（x）在 （ln2，+∞）上單調(diào)遞增且x₂＞ln2，2ln2-x₁＞ln2，
∴x₂＜2ln2-x₁，
∴x₁+x₂＜2ln2，
∴$\frac{x1+x2}{2}$＜ln2，
即x₀＜ln2，
∵ϕ（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，
∴ϕ′（x₀）＜0，
 即f′（x₀）＜0

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化能力，運算能力，解決問題的能力，屬于難題．