Question

12．函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-cos²x+$\frac{1}{2}$，x∈R，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得函數(shù)g（x）的圖象，設△ABC的三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若c=$\sqrt{7}$，f（C）=1，sinB=3sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性即可得出；
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性可得C，利用直角三角形的邊角公式即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}（2co{s}^{2}x-1）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{6}）$
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
g（x）單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
（2）由（Ⅰ）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∴f（C）-sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
而-$\frac{π}{6}$$≤2C-\frac{π}{6}$$≤\frac{11}{6}π$，故C=$\frac{π}{3}$，--------------（8分）
由余弦定理知：a²+b²-ab=c²=7…①，
∵sinB=3sinA，由正弦定理德b=3a…②
由①②解得：a=1，b=3．

點評 本題主要考查正、余弦定理及三角運算等基礎知識，同時考查運算求解能力．屬于中檔題．