12.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的負(fù)半軸上,直線2x-$\sqrt{5}$y+2=0與圓C相切.
(1)求圓C的方程;
(2)是否存在過點(0,-5)的直線l與圓C交于不同的兩點A,B且滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=17?若存在,求出△AOB的面積;若不存在,請說明理由.

分析 (1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,0)(a<0),由圓心到直線的距離等于半徑列式求得a,則圓的方程可求;
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,方程為x=0,此時直線l與圓C相離,不合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx-5,聯(lián)立直線方程與圓的方程,由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=17求得k值,進(jìn)一步得到|AB|,再求出AB邊上的高,代入三角形面積公式得答案.

解答 解:(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,0)(a<0),則圓C的方程為(x-a)2+y2=4,
∵直線2x-$\sqrt{5}$y+2=0與圓C相切,∴$\frac{|2a+2|}{\sqrt{4+5}}=2$,解得a=-4或a=2(舍).
∴圓C的方程為(x+4)2+y2=4;
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,方程為x=0,此時直線l與圓C相離,不合題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx-5,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{(x+4)^{2}+{y}^{2}=4}\\{y=kx-5}\end{array}\right.$,得(1+k2)x2-(10k-8)x+37=0.
設(shè)直線l與C交于不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),
則△=(10k-8)2-4×(1+k2)×37=-48k2-160k-84.
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10k-8}{1+{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{37}{1+{k}^{2}}$,
則${y}_{1}{y}_{2}=(k{x}_{1}-5)(k{x}_{2}-5)={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-5k({x}_{1}+{x}_{2})+25$=$\frac{12{k}^{2}+40k+25}{1+{k}^{2}}$.
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=17$,∴x1x2+y1y2=17,即$\frac{37}{1+{k}^{2}}+\frac{12{k}^{2}+40k+25}{1+{k}^{2}}=17$,
∴k2-8k-9=0,解得k=-1,或k=9.
驗證k=9時,△<0,舍去,
∴存在直線l滿足條件,此時直線l的方程為y=-x-5.
∴圓心C(-4,0)到直線l的距離d=$\frac{|4-5|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
則|AB|=$2\sqrt{{2}^{2}-(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}}=\sqrt{14}$,
又△AOB的底邊上的高h(yuǎn)=$\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$,
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•h=\frac{1}{2}×\sqrt{14}×\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{7}}{2}$.

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查了向量在求解直線與圓問題中的應(yīng)用,考查計算能力,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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11.圖中給出了奇函數(shù)f(x)的局部圖象,已知f(x)的定義域為[-5,5]

(1)求f(0);    
(2)試補(bǔ)全其圖象; 
(3)并比較f(1)與f(3)的大小.

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3.A,B兩位同學(xué)各有五張卡,現(xiàn)以投擲均勻硬幣的方式進(jìn)行游戲,當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片,否則B贏得A一張卡片,如果某人已贏得所有卡片,則游戲終止;
(1)求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時游戲終止的概率.
(2)設(shè)ξ表示“游戲已進(jìn)行五次時同學(xué)A擁有的卡片數(shù)”,求Eξ.

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20.如圖所示是y=f(x)的導(dǎo)數(shù)圖象,則下列判斷中正確結(jié)論的序號是②④.
①f(x)在(-3,1)上是增函數(shù);
②x=-1是f(x)的極小值點;
③x=2是f(x)的極小值點;
④f(x)在(2,4)上是減函數(shù),在(-1,2)上是增函數(shù).

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7.已知定義在[0,1]上的函數(shù)y=f(x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),f(x)圖象如圖,對滿足0<x1<x2<1的任意x1,x2,給出下列結(jié)論:
①f(x1)-f(x2)>x1-x2;
②x2f(x1)>x1f(x2);
③$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{2}$<f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$);
④[f′(x1)-f′(x2)]•(x1-x2)>0.
則下列結(jié)論中正確的是②③.

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17.下列結(jié)論判斷正確的是( 。
A.棱長為1的正方體的內(nèi)切球的表面積為4π
B.三條平行直線最多確定三個平面
C.正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB與C1D1異面
D.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,則平面α∥平面γ

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4.給出下列四種說法:
①這兩個函數(shù)是同一函數(shù):f(x)=|x|,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}x(x≥0)\\-x(x<0).\end{array}$
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同;         
③函數(shù)y=$\frac{1}{2$+$\frac{1}{{{2^x}-1}}$與y=-$\frac{1}{x}$均是奇函數(shù);
④函數(shù)y=(x-1)2與y=2x-1在(0,+∞)上都是增函數(shù).
  其中正確說法的序號是①③.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)對于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且x>0時,f(x)<0.
(1)求證:f(x)在R上是奇函數(shù);
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)若f(1)=-$\frac{2}{3}$,求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.

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2.電視臺與某廣告公司簽約播放兩部影片集,其中影片集甲每集播放時間為19分鐘(不含廣告時間,下同),廣告時間為1分鐘,收視觀眾為60萬;影片集乙每集播放時間為7分鐘,廣告時間為1分鐘,收視觀眾為20萬,廣告公司規(guī)定每周至少有7分鐘廣告,而電視臺每周只能為該公司提供不多于80分鐘的節(jié)目時間(含廣告時間).
(Ⅰ)問電視臺每周應(yīng)播放兩部影片集各多少集,才能使收視觀眾最多;
(Ⅱ)在獲得最多收視觀眾的情況下,影片集甲、乙每集可分別給廣告公司帶來a和b(萬元)的效益,若廣告公司本周共獲得3萬元的效益,記S=$\frac{16}{a}$+$\frac{10}$為效益調(diào)和指數(shù)(單位:萬元),求效益調(diào)和指數(shù)的最小值.

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