Question

3．A，B兩位同學(xué)各有五張卡，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的方式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí)A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止；
（1）求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時(shí)游戲終止的概率．
（2）設(shè)ξ表示“游戲已進(jìn)行五次時(shí)同學(xué)A擁有的卡片數(shù)”，求Eξ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)ξ表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)，正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=5}\\{m+n=ξ}\\{1≤ξ≤7}\end{array}\right.$．對(duì)m分類討論即可得出．
（2）假設(shè)A贏了B，5次終止，那么A贏了4次，B贏了1次． B的這一次只能發(fā)生在前三次中（前三中還不發(fā)生，A就贏了），也就是有三種情況，每種情況概率均為$（\frac{1}{2}）^{5}$，且還有B贏A的情況，則最后概率為$（\frac{1}{2}）^{5}×3×2$=$\frac{3}{16}$．

解答 解：（1）設(shè)ξ表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)，
正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=5}\\{m+n=ξ}\\{1≤ξ≤7}\end{array}\right.$．
可得：當(dāng)m=5，n=0或m=0，n=5時(shí)，ξ=5；
當(dāng)m=6，n=1或m=1，n=6時(shí)，ξ=7．
所以ξ的所有可能取值為：5，7．
P（ξ≤7）=P（ξ=5）+P（ξ=7）=2$（\frac{1}{2}）^{5}$+2${∁}_{5}^{1}×（\frac{1}{2}）^{7}$=$\frac{9}{64}$．
（2）ξ表示“游戲已進(jìn)行五次時(shí)同學(xué)A擁有的卡片數(shù)”，則ξ=0，1，2，3，4，7，8，9，10．
假設(shè)A贏了B，5次終止，那么A贏了4次，B贏了1次． B的這一次只能發(fā)生在前三次中（前三中還不發(fā)生，A就贏了），也就是有三種情況，每種情況概率均為$（\frac{1}{2}）^{5}$，且還有B贏A的情況，則最后概率為$（\frac{1}{2}）^{5}×3×2$=$\frac{3}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列的概率與首項(xiàng)期望計(jì)算公式、古典概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．