Question

18．若f（x）+f（1-x）=4，a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）（n∈N⁺），則數列{a_n}的通項公式為a_n=2（n+1）．

Answer 1

分析 由題意可得自變量的和為1時函數值的和為4，運用數列的求和方法：倒序相加求和，計算即可得到所求和．

解答 解：由f（x）+f（1-x）=4，
可得自變量的和為1，則函數值的和為4，
由a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），
a_n=f（1）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$）+f（0），
相加可得2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（1）+f（0）]
=4+4+…+4=4（n+1），
解得a_n=2（n+1）．
故答案為：a_n=2（n+1）．

點評 本題是數列與函數結合的好題，考查數列的求和方法：倒序相加求和，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．