分析 (1)討論判別式大于0,小于等于0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可得到所求不等式的解集;
(2)由題意可得xlnx≥$\frac{1}{2}$(-x2+ax-3),即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x>0恒成立.設(shè)h(x)=2lnx+x+$\frac{3}{x}$,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得最小值,即可得到a的范圍;
(3)要證明不等式成立,問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)).求得f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-$\frac{1}{e}$,構(gòu)造新函數(shù)m(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)),求得最大值,即可得證.
解答 解:(1)g(x)>0,即為x2-ax+3<0,
當(dāng)△≤0,即a2-12≤0,即有-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$時(shí),不等式無(wú)實(shí)數(shù)解;
當(dāng)△>0,即a<-2$\sqrt{3}$或a>2$\sqrt{3}$,
方程x2-ax+3=0的解為x1=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$,x2=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$.
且x1>x2,則不等式的解為x2<x<x1;
綜上可得,當(dāng)-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$時(shí),原不等式的解集為∅;
當(dāng)a<-2$\sqrt{3}$或a>2$\sqrt{3}$時(shí),原不等式的解集為($\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$,$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$).
(2)對(duì)任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥$\frac{1}{2}$g(x)恒成立,
即為xlnx≥$\frac{1}{2}$(-x2+ax-3),即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x>0恒成立.
設(shè)h(x)=2lnx+x+$\frac{3}{x}$,導(dǎo)數(shù)h′(x)=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+3)(x-1)}{{x}^{2}}$,
當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增;當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減.
則h(x)在x=1處取得極小值,且為最小值4.
則a≤4,可得a的取值范圍是(-∞,4];
證明:(3)問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)).
由f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1+lnx,
當(dāng)x>$\frac{1}{e}$時(shí),f(x)遞增;當(dāng)0<x<$\frac{1}{e}$時(shí),f(x)遞減.
即有f(x)的最小值是-$\frac{1}{e}$,當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)取到,
設(shè)m(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)),則m′(x)=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$,
當(dāng)x>1時(shí),m(x)遞減;0<x<1時(shí),m(x)遞增.
易知m(x)max=m(1)=-$\frac{1}{e}$,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到.
從而對(duì)一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx>$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式的解集,注意討論判別式的符號(hào),考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法求最值,考查不等式的證明,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求最值的關(guān)系,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 棱錐的側(cè)面不一定是三角形 | |
B. | 棱柱的各側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等 | |
C. | 棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)必交于一點(diǎn) | |
D. | 用一個(gè)平面截棱錐,得到兩個(gè)幾何體,一個(gè)是棱錐,另一個(gè)是棱臺(tái) |
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A. | ①②④ | B. | ①③④ | C. | ②④ | D. | ①②③④ |
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A. | 1008 | B. | 2014 | C. | 2015 | D. | 2016 |
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