1.已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,a∈R.
(1)解關(guān)于x的不等式g(x)>0;
(2)若對(duì)任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥$\frac{1}{2}$g(x)恒成立,求a的取值范圍;
(3)證明:對(duì)任意x∈(0,+∞),lnx>$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$.

分析 (1)討論判別式大于0,小于等于0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可得到所求不等式的解集;
(2)由題意可得xlnx≥$\frac{1}{2}$(-x2+ax-3),即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x>0恒成立.設(shè)h(x)=2lnx+x+$\frac{3}{x}$,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得最小值,即可得到a的范圍;
(3)要證明不等式成立,問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)).求得f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-$\frac{1}{e}$,構(gòu)造新函數(shù)m(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)),求得最大值,即可得證.

解答 解:(1)g(x)>0,即為x2-ax+3<0,
當(dāng)△≤0,即a2-12≤0,即有-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$時(shí),不等式無(wú)實(shí)數(shù)解;
當(dāng)△>0,即a<-2$\sqrt{3}$或a>2$\sqrt{3}$,
方程x2-ax+3=0的解為x1=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$,x2=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$.
且x1>x2,則不等式的解為x2<x<x1;
綜上可得,當(dāng)-2$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{3}$時(shí),原不等式的解集為∅;
當(dāng)a<-2$\sqrt{3}$或a>2$\sqrt{3}$時(shí),原不等式的解集為($\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$,$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-12}}{2}$).
(2)對(duì)任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥$\frac{1}{2}$g(x)恒成立,
即為xlnx≥$\frac{1}{2}$(-x2+ax-3),即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$在x>0恒成立.
設(shè)h(x)=2lnx+x+$\frac{3}{x}$,導(dǎo)數(shù)h′(x)=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+3)(x-1)}{{x}^{2}}$,
當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增;當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減.
則h(x)在x=1處取得極小值,且為最小值4.
則a≤4,可得a的取值范圍是(-∞,4];
證明:(3)問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx>$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)).
由f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1+lnx,
當(dāng)x>$\frac{1}{e}$時(shí),f(x)遞增;當(dāng)0<x<$\frac{1}{e}$時(shí),f(x)遞減.
即有f(x)的最小值是-$\frac{1}{e}$,當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)取到,
設(shè)m(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$(x∈(0,+∞)),則m′(x)=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$,
當(dāng)x>1時(shí),m(x)遞減;0<x<1時(shí),m(x)遞增.
易知m(x)max=m(1)=-$\frac{1}{e}$,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到.
從而對(duì)一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx>$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{ex}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式的解集,注意討論判別式的符號(hào),考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法求最值,考查不等式的證明,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求最值的關(guān)系,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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11.下面說(shuō)法正確的是( 。
A.棱錐的側(cè)面不一定是三角形
B.棱柱的各側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等
C.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)必交于一點(diǎn)
D.用一個(gè)平面截棱錐,得到兩個(gè)幾何體,一個(gè)是棱錐,另一個(gè)是棱臺(tái)

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12.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2CB=2,四邊形ACFE是矩形,AE=1,平面ACFE⊥平面ABCD,點(diǎn)G是BF的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CG∥平面ADF;
(Ⅱ)求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.

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9.已知面積為S的△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=2sinCcosA,3sinB=2sinA,2≤$\frac{1}{2}$c2+$\frac{3}{2}$ac≤18,當(dāng)$\frac{9\sqrt{2}S+16a}{4(c+1)^{2}}$取得最大值時(shí),a的值為2.

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16.下面幾種推理是合情推理的是( 。
①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì);
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和是180°;
③一班所有同學(xué)的椅子都?jí)牧耍资且话鄬W(xué)生,所以甲的椅子壞了;
④三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得出凸多邊形內(nèi)角和是(n-2)•180°.
A.①②④B.①③④C.②④D.①②③④

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6.已知函數(shù)f(x)=x3-x-$\sqrt{x}$,g(x)=$\frac{a{x}^{2}+ax}{f(x)+\sqrt{x}}$+lnx
(1)求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若函數(shù)y=g(x)在(0,$\frac{1}{e}$)內(nèi)有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)任意的t∈(1,+∞),s∈(0,1),求證:g(t)-g(s)>e+2-$\frac{1}{e}$.

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13.設(shè)M是49個(gè)不同的自然數(shù)構(gòu)成的集合,M中每一個(gè)數(shù)的素因子均小于10,求證:從M中一定可選出四個(gè)不同的數(shù),使它們之積等于一個(gè)自然數(shù)的四次方.

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10.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的n∈N*,都有Sn=2an-3,則數(shù)列{an}的第6項(xiàng)a6=96.

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11.f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),f''(x)是函數(shù)f'(x)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)于三次函數(shù)y=f(x),若方程f''(x0)=0,則點(diǎn)($\begin{array}{l}{{x_0},f({x_0})}\end{array}$)即為函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$,則f($\frac{1}{2017}$)+f($\frac{2}{2017}$)+f($\frac{3}{2017}$)+…+f($\frac{2016}{2017}$)=( 。
A.1008B.2014C.2015D.2016

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