11.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an-n+1,n∈N*
(1)證明:數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列bn=$\frac{1}{{n({a_n}-{2^{n-1}}+1)}}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)由已知得an+1-(n+1)=2an-n+1-(n+1)=2(an-n),利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)bn=$\frac{1}{{n({a_n}-{2^{n-1}}+1)}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.

解答 (1)證明:由已知得an+1-(n+1)=2an-n+1-(n+1)=2(an-n),
即$\frac{{{a_{n+1}}-(n+1)}}{{{a_n}-n}}=2$,
∴數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)為a1-1=1,
∴${a_n}-n={2^{n-1}}$,∴${a_n}={2^{n-1}}+n$.
(2)解:bn=$\frac{1}{{n({a_n}-{2^{n-1}}+1)}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴Sn=$(1-\frac{1}{2})$+$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知f(x)=$\frac{1}{x+2}$(x≠-2),h(x)=x2+1.
(1)求f(2),h(1)的值;
(2)求f[h(2)]的值;
(3)求f(x),h(x)的值域.

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2.某地區(qū)山體大面積滑坡,政府準(zhǔn)備調(diào)運(yùn)一批賑災(zāi)物資共裝26輛車,從某市出發(fā)以v(km/h)的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū),如果兩地公路長(zhǎng)400km,且為了防止山體再次坍塌,每?jī)奢v車的間距保持在($\frac{v}{20}$)2km.(車長(zhǎng)忽略不計(jì))設(shè)物資全部運(yùn)抵災(zāi)區(qū)的時(shí)間為y小時(shí),請(qǐng)建立y關(guān)于每車平均時(shí)速v(km/h)的函數(shù)關(guān)系式,并求出車輛速度為多少千米/小時(shí),物資能最快送到災(zāi)區(qū)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.若f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x-1,則不等式f(x)>0的解集是( 。
A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

6.函數(shù)f(x)=$\sqrt{1-2log6x}$的定義域?yàn)椋?,$\sqrt{6}$].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知函數(shù)f(x)=m-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,(m∈R).
(1)試判斷f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x),若f(t+1)+f(t)≥0,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.如圖,已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,以橢圓E的短軸的兩端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng)為8,直線l:y=kx+m與y軸交于點(diǎn)M,與橢圓E交于不同兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{BM}$,求m2的取值范圍.

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20.若函數(shù)y=$\sqrt{a{x}^{2}-2ax+3}$定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,3].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算“⊙”:a⊙b=$\left\{\begin{array}{l}a,a-b≤1\\ b,a-b>1\end{array}$設(shè)f(x)=2x+1⊙(1-x),若函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)=x2-6x在區(qū)間(m,m+1)上均為減函數(shù),且m∈{-1,0,1,3},則m的值為( 。
A.0B.-1或0C.0或1D.0或1或3

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