Question

14．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC₁=4
（1）求證：AB₁⊥C₁B
（2）求直線(xiàn)C₁B與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AC，CB，CC₁兩兩垂直，以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的坐標(biāo)，計(jì)算其數(shù)量積為0得出AB₁⊥C₁B；
（2）求出平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}$＞|即為所求．

解答 （1）證明：連接B₁C交BC₁于點(diǎn)O．
∵CC₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，
又AC⊥BC，
∴AC，CB，CC₁兩兩垂直，
以CA所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直線(xiàn)為y軸，
CC₁所在直線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵AC=3，BC=CC₁=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0），B₁（0，4，4），C₁（0，0，4）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-3，4，4），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，4），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=-3•0+4•（-4）+4•4=0，
∴AB₁⊥BC₁．
（2）解：∵A₁（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B₁（0，4，4），C₁（0，0，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，4，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，4），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，4，-4）．
設(shè)平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-3x+4y=0}\\{4z=0}\end{array}\right.$．
令x=4得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}B}|}$=$\frac{12}{5•4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
∴直線(xiàn)C₁B與平面ABB₁A₁所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的計(jì)算，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．