Question

15．觀察如圖三角形數(shù)表，假設(shè)第n行第二個數(shù)為a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式，并求出a_n（n≥2，n∈N^*）的通項公式；
 （2）設(shè)（a_n-1）b_n=1（n≥2），S_n=b₂+b₃+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”，則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)與第二個數(shù)的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（2）根據(jù)裂項求和即可求出S_n．

解答 解：（1）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以：a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1）（n-2），
所以a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，（n＞2）
當(dāng)n=2時a₂=2，也滿足上述等式，
故${a_n}=\frac{{{n^2}-n+2}}{2}（n≥2）$；
（2）∵（a_n-1）b_n=1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴S_n=b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=2-$\frac{2}{n}$

點評 本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項及求和的方法，以及裂項求和，屬中檔題．