Question

4．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由已知利用遞推公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}{-S}_{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$可得a_n，代入分別可求數(shù)列b_n的首項b₁，公比q，從而可求b_n．

解答 解：當n=1時，a₁=S₁=2；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
上式對n=1也成立，
故{a_n}的通項公式為a_n=4n-2．即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差數(shù)列．
設{b_n}的公比為q，
由a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，
可得b₁qd=b₁，又d=4，
可得q=$\frac{1}{4}$．
故b_n=b₁q^n-1=2×$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，即{b_n}的通項公式為b_n=$\frac{2}{{4}^{n-1}}$，n∈N*．

點評 當已知條件中含有s_n時，一般會用結論a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}{-S}_{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$來求通項，一般有兩種類型：①所給的S_n=f（n），則利用此結論可直接求得n＞1時數(shù)列{a_n}的通項，但要注意檢驗n=1是否適合②所給的S_n是含有a_n的關系式時，則利用此結論得到的是一個關于a_n的遞推關系，再用求通項的方法進行求解．