【題目】已知Q2=稱為x,y的二維平方平均數(shù),A2=稱為x,y的二維算術(shù)平均數(shù),G2=稱為x,y的二維幾何平均數(shù),H2=稱為x,y的二維調(diào)和平均數(shù),其中x,y均為正數(shù).

(1)試判斷G2H2的大小,并證明你的猜想.

(2)令M=A2﹣G2,N=G2﹣H2,試判斷MN的大小,并證明你的猜想.

(3)令M=A2﹣G2,N=G2﹣H2,P=Q2﹣A2,試判斷M、N、P三者之間的大小關(guān)系,并證明你的猜想.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

先猜想結(jié)論,再分析使結(jié)論成立的充分條件,一直分析到使猜想成立的充分條件顯然具備,從而猜想得證.

(I)G2H2,采用分析法.

欲證G2H2

即證,

即證

即證,

上式顯然成立,

所以G2H2;…3’

(II)MN.

欲證MN,

即證,

由均值不等式可得:,等號(hào)成立的條件是x=y,

所以原命題成立

(III)MPN.

首先證明MP:

欲證MP,

即證,

即證,

即證,

即證(x+y)48xy(x2+y2),

即證(x﹣y)40,

上式顯然成立,等號(hào)成立的條件是x=y,故MP.

再證PN:

欲證PN,

即證,

即證,當(dāng)x=y時(shí),上式顯然成立,

當(dāng)xy時(shí),即證

而此式子在證明MP已經(jīng)成功證明,所以原命題成立

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【題目】若函數(shù)f(x)=x2﹣ex﹣ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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【題目】某高校共有學(xué)生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).

(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?

(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率.

(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.
(Ⅰ)求證:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求證:AF⊥平面PCD.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)設(shè)a=1,f(x)在x=1處的切線過(guò)點(diǎn)(2,6),求b的值;
(2)設(shè)b=a2+2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值;
(3)定義:一般的,設(shè)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)a>0,試問(wèn)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)時(shí),這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)能否同時(shí)也是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)?

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(x﹣1)2+y2=2,圓C2:(x﹣m)2+(y+m)2=m2 . 圓C2上存在點(diǎn)P滿足:過(guò)點(diǎn)P向圓C1作兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,△ABP的面積為1,則正數(shù)m的取值范圍是

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(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;

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從甲城市2016年9月份的30天中隨機(jī)抽取15天,這15天的PM2.5的日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示.

(1)試估計(jì)甲城市在2016年9月份的30天中,空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù);

(2)從甲城市的這15個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè),設(shè)X是空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表:

主食 蔬菜

主食 肉類

總計(jì)

50歲以下

50歲以上

總計(jì)

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下認(rèn)為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”?并寫出簡(jiǎn)要分析.

附參考公式:

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