Question

10．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足：a₁=1，${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{3^n}{a_n}（n∈{N^*}）$，則該數列的前2017項和S₂₀₁₇=3¹⁰⁰⁹-2．

Answer 1

分析 由a₁=1，${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{3^n}{a_n}（n∈{N^*}）$，可得a_n+1a_n=3ⁿ，n=1時，a₂=3．n≥2時，a_na_n-1=3^n-1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3．因此數列{a_n}的奇數項與偶數項都成等比數列，公比為3．即可得出．

解答 解：∵a₁=1，${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{3^n}{a_n}（n∈{N^*}）$，∴a_n+1a_n=3ⁿ，n=1時，a₂=3．
n≥2時，a_na_n-1=3^n-1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3．
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項都成等比數列，公比為3．
∴S₂₀₁₇=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{3}^{1009}-1}{3-1}$+$\frac{3（{3}^{1008}-1）}{3-1}$=3¹⁰⁰⁹-2．
故答案為：3¹⁰⁰⁹-2．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、分組求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．