Question

14．已知圓E：（x+1）²+y²=16，點F（1，0），P是圓E上任意一點，線段PE的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動點Q的軌跡Γ的方程；
（2）點C（1，$\frac{3}{2}$），直線l的方程為x=4，AB是經(jīng)過F的任一弦（不經(jīng)過點C），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記CA、CB、CM斜率分別為k₁、k₂、k₃，且存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：圓E：（x+1）²+y²=16的圓心E（-1，0），半徑為4，連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，動點Q的軌跡Γ是以E（-1，0），F(xiàn)（1，0），為焦點，長軸長為4的橢圓，即可求得a和b的值，求得動點Q的軌跡Γ的方程；
（2）直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，利用韋達定理代入即可求得k₁+k₂=2k-1，當x=4，代入y=k（x-1），y=3k，求得M坐標，則k₃=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{3}$=k-$\frac{1}{2}$，因此k₁+k₂=2k₃，即可求得λ的值．

解答 解：（1）圓E：（x+1）²+y²=16的圓心E（-1，0），半徑為4，
連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，
則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，
故動點Q的軌跡Γ是以E（-1，0），F(xiàn)（1，0），為焦點，長軸長為4的橢圓．     （2分）
設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，（3分）
∴點Q的軌跡Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．                                （5分）
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，（7分）
由k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，
=2k-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）=2k-$\frac{3}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，
=2k-$\frac{3}{2}$•$\frac{\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2}{\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+1}$=2k-1，（10分）
又將x=4，代入y=k（x-1），y=3k，
∴M（4，3k）
由k₃=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{3}$=k-$\frac{1}{2}$，
∴k₁+k₂=2k₃，
故存在常數(shù)λ=2符合題意．                  （12分）

點評 本題考查橢圓的定義及標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式與韋達定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．