Question

6．已知AB是圓Γ₁：（x-2）²+y²=1的直徑，P為橢圓Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上一動點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[8，48]．

Answer 1

分析 求得圓心及半徑，由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{MA}$-$\overrightarrow{MP}$）•（$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MP}$）=-1+|$\overrightarrow{MP}$|²．設(shè)P點坐標(biāo)，利用兩點之間的距離公式，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得9≤|$\overrightarrow{MP}$|²≤49，即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

解答 解：由圓Γ₁：（x-2）²+y²=1的圓心M（2，0），半徑為1，
則∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{MA}$-$\overrightarrow{MP}$）•（$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MP}$）
=$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MP}$•（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）+$\overrightarrow{MP}$²=-|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|•cosπ-0+|$\overrightarrow{MP}$|²
=-1+|$\overrightarrow{MP}$|²．
橢圓Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，設(shè)P（5cosθ，4sinθ），θ∈[0，2π]，
∴|$\overrightarrow{MP}$|²=（5cosθ-2）²+16sin²θ=25cos²θ-20cosθ+4+16sin²θ=9cos²θ-20cosθ+20，
設(shè)t=cosθ，t∈[-1，1]，f（t）=9t²-20t+20，t∈[-1，1]，
對稱軸t=-$\frac{-20}{2×9}$=$\frac{10}{9}$＞1，
則f（t）在[-1，1]單調(diào)遞減，則當(dāng)t=-1時取最大值為f（t）_max=49，
當(dāng)t=1時取最小值，最小值為f（t）_min=9，
9≤|$\overrightarrow{MP}$|²≤49，則8≤-1+|$\overrightarrow{MP}$|²≤48，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍[8，48]．
故答案為：[8，48]．

點評 本題考查向量數(shù)量積，橢圓的參數(shù)方程，兩點之間的距離公式，二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．