【題目】如圖,在三棱錐C﹣OAB中,CO⊥平面AOB,OA=OB=2OC=2,AB=2 ,D為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB⊥平面COD;
(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)E滿足CE∥平面AOB,問:當(dāng)AE=BE時(shí),平面ACE與平面AOB所成的銳二面角是否為定值?若是,求出該銳二面角的余弦值;若不是,說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)在三棱錐C﹣OAB中,CO⊥平面AOB,
∴CO⊥AB.
又OA=OB,D為AB的中點(diǎn),
∴DO⊥AB
∵DO∩CO=O,
∴AB⊥平面COD.
(Ⅱ)∵OA=OB=2,AB=2 ,
∴AO⊥BO.
由CO⊥平面AOB,故以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,OB所在的直線為y軸,OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
由已知可得O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),D(1,1,0).
由CE∥平面AOB,故設(shè)E(x,y,1).
由AE=BE,得 ,
故x=y,即E(x,y,1),(x≠0).
設(shè)平面ACE的法向量為 ,由 , =(x,y,0),
得 ,令a=1,得 =(1,﹣1,2).
又平面AOB的法向量為
∴cos< >= = .
故平面ACE與平面AOB所成的銳二面角為定值,且該銳二面角的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出CO⊥AB,DO⊥AB.由此能證明AB⊥平面COD.(Ⅱ)以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,OB所在的直線為y軸,OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面ACE與平面AOB所成的銳二面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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B.3
C.5
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