【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ x2﹣x+a,a∈R
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值),記為x1 , x2 , 且x1<x2 . (ⅰ)求a的取值范圍;
(ⅱ)若不等式e1+λ<x1x 恒成立,求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=0時(shí),f(x)=xlnx﹣x,函數(shù)的定義域是(0,+∞),

f(x)=lnx,令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,

故函數(shù)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,

故函數(shù)的極小值是f(1)=﹣1


(2)解:(i)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),

方程f′(x)=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同根;

即方程lnx﹣ax=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同根;

(解法一)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn),

如右圖.

可見,若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k,只須0<a<k.

令切點(diǎn)A(x0,lnx0),

故k=y′|x=x0= ,又k= ,

= ,解得,x0=e,

故k= ,故0<a<

(解法二)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)= 與函數(shù)y=a的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)

又g′(x)= ,

即0<x<e時(shí),g′(x)>0,x>e時(shí),g′(x)<0,

故g(x)在(0,e)上單調(diào)增,在(e,+∞)上單調(diào)減.

故g(x)極大=g(e)= ;

又g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1,且在x→0時(shí),g(x)→﹣∞,在在x→+∞時(shí),g(x)→0,

故g(x)的草圖如右圖,

可見,要想函數(shù)g(x)= 與函數(shù)y=a的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn),

只須0<a<

(解法三)令g(x)=lnx﹣ax,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn),

而g′(x)= ﹣ax= (x>0),

若a≤0,可見g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)增,

此時(shí)g(x)不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn).

若a>0,在0<x< 時(shí),g′(x)>0,在x> 時(shí),g′(x)<0,

所以g(x)在(0, )上單調(diào)增,在( ,+∞)上單調(diào)減,從而g(x)極大值=g( )=ln ﹣1,

又因?yàn)樵趚→0時(shí),g(x)→﹣∞,在在x→+∞時(shí),g(x)→﹣∞,

于是只須:g(x)極大>0,即ln ﹣1>0,所以0<a<

綜上所述,0<a<

(ii)因?yàn)閑1+λ<x1x2λ等價(jià)于1+λ<lnx1+λlnx2

由(i)可知x1,x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根,

即lnx1=ax1,lnx2=ax2

所以原式等價(jià)于1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),因?yàn)棣耍?,0<x1<x2

所以原式等價(jià)于a> ,

又由lnx1=ax1,lnx2=ax2作差得,ln =a(x1﹣x2),

即a= ,所以原式等價(jià)于 ,

因?yàn)?<x1<x2,原式恒成立,即ln 恒成立,

令t= ,t∈(0,1),

則不等式lnt< 在t∈(0,1)上恒成立.

令h(t)=lnt﹣ ,

又h′(t)= ,

當(dāng)λ2≥1時(shí),可見t∈(0,1)時(shí),h′(t)>0,

所以h(t)在t∈(0,1)上單調(diào)增,又h(1)=0,h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合題意.

當(dāng)λ2<1時(shí),可見t∈(0,λ2)時(shí),h′(t)>0,t∈(λ2,1)時(shí)h′(t)<0,

所以h(t)在t∈(0,λ2)時(shí)單調(diào)增,在t∈(λ2,1)時(shí)單調(diào)減,又h(1)=0,

所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合題意,舍去.

綜上所述,若不等式e1+λ<x1x2λ恒成立,只須λ2≥1,又λ>0,所以λ≥1


【解析】(1)求出f(x)的解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極小值即可;(2)(i)由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′(x)=lnx﹣ax=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同根;再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn),或轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)= 與函數(shù)y=a的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn);或轉(zhuǎn)化為g(x)=lnx﹣ax有兩個(gè)不同零點(diǎn),從而討論求解;(ii)e1+λ<x1x2λ可化為1+λ<lnx1+λlnx2,結(jié)合方程的根知1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),從而可得a> ;而a= ,從而可得ln <恒成立;再令t= ,t∈(0,1),從而可得不等式lnt< 在t∈(0,1)上恒成立,再令h(t)=lnt﹣ ,從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有一容量為50的樣本,數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下:

[12.5,15.5),3;[15.5,18.5),8;[18.5,21.5),9;[21.5,24.5),11;[24.5,27.5),10;[27.5,30.5),5;[30.5,33.5],4.

(1)列出樣本的頻率分布表.

(2)畫出頻率分布直方圖.

(3)根據(jù)頻率分布表,估計(jì)數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的可能性約是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積與時(shí)間月)的關(guān)系有以下敘述:

①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2;

②第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積就會(huì)超過

③浮萍從蔓延到需要經(jīng)過1.5個(gè)月;

④浮萍每個(gè)月增加的面積都相等;

⑤若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別為.其中正確的是

A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近來景德鎮(zhèn)市棚戶區(qū)改造進(jìn)行的如火如荼,加上城市人居環(huán)境的不斷改善,我市房地產(chǎn)住宅銷售價(jià)格節(jié)節(jié)攀升,一部分剛需住戶帶來了不小的煩惱,下表為我市2017.1﹣2017.5這5月住宅價(jià)格與月份的關(guān)系.

月份x

1

2

3

4

5

住宅價(jià)格y
千元/平米

4.8

5.4

6.2

6.6

7


(1)通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)判斷住宅價(jià)y千元/平米與月份x的線性相關(guān)程度(精確到0.01)
(2)用最小二乘法得到的線性回歸直線去近似擬合x,y的關(guān)系. ①求y關(guān)于x的回歸方程;②試估計(jì)按照這個(gè)趨勢(shì)下去,將在不久的哪個(gè)年月份,房價(jià)將突破萬元/平米的大關(guān).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若函數(shù)g(x)=f(x)﹣mx﹣m在(﹣1,1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一只螞蟻繞一個(gè)豎直放置的圓環(huán)逆時(shí)針勻速爬行,已知圓環(huán)的半徑為8,圓環(huán)的圓心距離地面的高度為10螞蟻每12分鐘爬行一圈,若螞蟻的起始位置在最低點(diǎn).

1)試確定在時(shí)刻時(shí)螞蟻距離地面的高度;

(2)在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi),有多長時(shí)間螞蟻距離地面超過14

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義在R的函數(shù)是偶函數(shù),且滿足上的解析式為,過點(diǎn)作斜率為k的直線l,若直線l與函數(shù)的圖象至少有4個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖(甲),在直角梯形, , , , 、、分別為、的中點(diǎn)現(xiàn)將沿折起,使平面平面如圖(乙).

(1)求證:平面平面;

(2)若,求二面角的余弦值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某港口水的深度是時(shí)間,單位: 的函數(shù),記作.下面是某日水深的數(shù)據(jù):

經(jīng)長期觀察, 的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象.一般情況下,船舶航行時(shí),船底離海底的距離為以上時(shí)認(rèn)為是安全的(船舶?繒r(shí),船底只需不碰海底即可).

(1)求滿足的函數(shù)關(guān)系式;

(2)某船吃水程度(船底離水面的距離)為,如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港,請(qǐng)問它同一天內(nèi)最多能在港內(nèi)停留多少小時(shí)?(忽略進(jìn)出港所需的時(shí)間).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案