Question

1．定義“函數(shù)y=f（x）是D上的a級類周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=f（x），x∈D，對于給定的非零常數(shù) a，總存在非零常數(shù)T，使得定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x都有af（x）=f（x+T）恒成立，此時(shí)T為f（x）的周期．若y=f（x）是[1，+∞）上的a級類周期函數(shù)，且T=1，當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）=2x+1，且y=f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\frac{5}{6}，+∞}）$
• B． [2，+∞）
• C． $[{\frac{5}{3}，+∞}）$
• D． [10，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)a級類周期的定義依次計(jì)算f（x）在各個(gè)區(qū)間上的解析式，歸納f（x）在[n，n+1）上的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式即可得出a的范圍．

解答 解：∵x∈[1，2）時(shí)，f（x）=2x+1，
∴當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，f（x）=af（x-1）=a•[2（x-1）+1]，
…
當(dāng)x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=af（x-1）=a²f（x-2）=…=a^n-1f（x-n+1）=a^n-1•[2（x-n+1）+1]．
即x∈[n，n+1）時(shí)，f（x）=a^n-1•[2（x-n+1）+1]，n∈N^*，
∴當(dāng)x∈[n-1，n）時(shí)，f（x）=a^n-2•[2（x-n+1+1）+1]=a^n-2•[2（x-n+2）+1]，
∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a^n-2•5≤a^n-1•3恒成立，
∴a≥$\frac{5}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．