Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-ax+a（a為常數(shù)，且為正實(shí)數(shù)）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤lnx+$\frac{1}{x}$+1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（1）知不等式（x-1）f（x）≥0恒成立．
若a＞2，f′（x）=$\frac{xlnx+（1-a）x+1}{x}$，
設(shè)p（x）=xlnx+（1-a）x+1，利用p′（x）=lnx+2-a可得到p（x）單調(diào)性，從而得到f（x）單調(diào)性，即可求出符合條件的a．

解答 解：（1）解：（1）f（x）=（x+l）lnx-ax+a，f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，
若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a≤lnx+$\frac{1}{x}$+1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，（x＞0），g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故g（x）_min=g（1）=2，故0＜a≤2；
（2）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（1）知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（1）=0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
故不等式（x-1）f（x）≥0恒成立．
若a＞2，f′（x）=$\frac{xlnx+（1-a）x+1}{x}$，
設(shè)p（x）=xlnx+（1-a）x+1，p′（x）=lnx+2-a=0，則x=e^a-2，
當(dāng)x∈（1，e^a-2）時(shí)，p（x）單調(diào)遞減，則p（x）＜p（1）=2-a＜0，
即f′（x）=$\frac{p（x）}{x}$＜0，∴當(dāng)x∈（1，e^a-2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）＜f（1）=0．
此時(shí)（x-1）f（x）＜0，不符合題意．
∴a的取值范圍為（0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．