Question

17．已知x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$，
求（1）z=x+2y的最大值；
（2）z=x²+y²-10y+25的最小值．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線平行進(jìn)行求解即可．
（2）z的幾何意義是兩點(diǎn)間的距離的平方，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$表示的可行域如下圖所示，

由z=x+2y，得y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，
平移直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=9}\end{array}\right.$，即A（7，9），此時(shí)z=7+2×9=25；
（2）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，z的幾何意義為點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（0，5）的距離的平方；
由圖知，最小值為（0，5）到直線x-y+2=0的距離的平方，
即d²=（$\frac{|0-5+2|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$．經(jīng)檢驗(yàn)，垂足在線段AC上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，可以直線平移以及兩點(diǎn)間的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．