【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由已知∵f(x)是二次函數(shù),且f(0)=f(2)
∴對稱軸為x=1
又最小值為1
設(shè)f(x)=a(x﹣1)2+1
又f(0)=3
∴a=2
∴f(x)=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3
(2)解:要使f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),則2a<1<a+1
∴
(3)解:由已知2x2﹣4x+3>2x+2m+1在[﹣1,1]上恒成立
化簡得m<x2﹣3x+1
設(shè)g(x)=x2﹣3x+1
則g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上單調(diào)遞減
∴g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最小值為g(1)=﹣1
∴m<﹣1
【解析】(1)用待定系數(shù)法先設(shè)函數(shù)f(x)的解析式,再由已知條件求解未知量即可(2)只需保證對稱軸落在區(qū)間內(nèi)部即可(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題,即可得到個關(guān)于變量m的不等式,解不等式即可
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面平面, 直線, 是內(nèi)不同的兩點(diǎn), 是內(nèi)不同的兩點(diǎn),且直線上分別是線段的中點(diǎn),下列判斷正確的是( )
A. 當(dāng)時, 兩點(diǎn)不可能重合
B. 兩點(diǎn)可能重合,但此時直線與不可能相交
C. 當(dāng)與相交,直線平行于時,直線可以與相交
D. 當(dāng)是異面直線時,直線可能與平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,五面體中,四邊形是菱形, 是邊長為2的正三角形, , .
(1)證明: ;
(2)若在平面內(nèi)的正投影為,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,(a>0).
(1)當(dāng)a=2時,證明函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并利用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明;
(3)若f(x)是奇函數(shù),且f(x)﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2,2]時恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]D,同時滿足:
①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當(dāng)定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].
則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)證明:[0,1]是函數(shù)y=f(x)=x2的一個“和諧區(qū)間”.
(2)求證:函數(shù) 不存在“和諧區(qū)間”.
(3)已知:函數(shù) (a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當(dāng)a變化時,求出n﹣m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0},B={x| <0},U=R.
(1)求A∪B;
(2)求(UA)∩B;
(3)如果C={x|x﹣a>0},且A∩C≠,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線 與橢圓 有且只有一個公共點(diǎn)
.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若直線 交C于A,B兩點(diǎn),且PA⊥PB,求b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 恰有兩個極值點(diǎn),且.
(1)求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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