【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)在區(qū)間[﹣1,1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由已知∵f(x)是二次函數(shù),且f(0)=f(2)

∴對稱軸為x=1

又最小值為1

設(shè)f(x)=a(x﹣1)2+1

又f(0)=3

∴a=2

∴f(x)=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3


(2)解:要使f(x)在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),則2a<1<a+1


(3)解:由已知2x2﹣4x+3>2x+2m+1在[﹣1,1]上恒成立

化簡得m<x2﹣3x+1

設(shè)g(x)=x2﹣3x+1

則g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上單調(diào)遞減

∴g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最小值為g(1)=﹣1

∴m<﹣1


【解析】(1)用待定系數(shù)法先設(shè)函數(shù)f(x)的解析式,再由已知條件求解未知量即可(2)只需保證對稱軸落在區(qū)間內(nèi)部即可(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題,即可得到個關(guān)于變量m的不等式,解不等式即可
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

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B. 兩點(diǎn)可能重合,但此時直線不可能相交

C. 當(dāng)相交,直線平行于時,直線可以與相交

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(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并利用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明;
(3)若f(x)是奇函數(shù),且f(x)﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2,2]時恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當(dāng)定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].
則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)證明:[0,1]是函數(shù)y=f(x)=x2的一個“和諧區(qū)間”.
(2)求證:函數(shù) 不存在“和諧區(qū)間”.
(3)已知:函數(shù) (a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當(dāng)a變化時,求出n﹣m的最大值.

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