Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-1（其中x∈R），求：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-1=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1
=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）令 2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
2x-$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，屬于中檔題．