Question

6．給出下列五種說法：
①函數(shù)$y={x^{\frac{1}{2}}}$與函數(shù)$y={（\frac{1}{2}）^x}$的值域相同；
②若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，4]；
③函數(shù)y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$與$y=\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$均為奇函數(shù)；
④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2016；
⑤已知f（x）=kx，g（x）=（k²-2）x²-2kx，若f（x），g（x）至少有一個在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是$[-\sqrt{3}，-\sqrt{2}）∪（0，+∞）$．
其中錯誤說法的序號是①②⑤．

Answer 1

分析 ①根據(jù)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．
②根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進行求解判斷．
③根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義先求出函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進行證明．
④利用賦值法進行求解即可．
⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的分別進行求解，取并集即可．

解答 解：①函數(shù)$y={x^{\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{x}$≥0，函數(shù)$y={（\frac{1}{2}）^x}$＞0，則兩個函數(shù)的值域不相同；故①錯誤，
②若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則0≤x≤2，
由0≤2x≤2，得0≤x≤1，
即函數(shù)f（2x）的定義域為[0，1]；故②錯誤，
③函數(shù)y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$，
由2^x-1≠0得x≠0，函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{2（{2}^{-x}-1）}$=$\frac{1+{2}^{x}}{2（1-{2}^{x}）}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$=-f（x），則函數(shù)為奇函數(shù)，
$y=\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$=$\frac{1+2•{2}^{x}+{4}^{x}}{x•{2}^{x}}$的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=$\frac{1+2•{2}^{-x}+{4}^{-x}}{-x•{2}^{-x}}$=$\frac{{4}^{x}+2•{2}^{x}+1}{-x•{2}^{x}}$=-f（x），
則兩個函數(shù)都是為奇函數(shù)；故③正確，
④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，
令y=1，則f（x+1）=f（x）f（1）=2f（x），
即$\frac{f（x+1）}{f（x）}$=2，
則$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2×1008=2016；故④正確，
⑤已知f（x）=kx，g（x）=（k²-2）x²-2kx，若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則k＞0，
對于g（x）=（k²-2）x²-2kx，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=2（k²-2）x-2k，
若函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則g′（x）=2（k²-2）x-2k≥0在（1，+∞）上恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{2（{k}^{2}-2）＞0}\\{g'（1）=2（{k}^{2}-2）-2k=2（{k}^{2}-k-2）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞\sqrt{2}或k＜-\sqrt{2}}\\{k＞2或k＜-1}\end{array}\right.$，即k＞2或k＜-$\sqrt{2}$，
若f（x），g（x）至少有一個在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則k＞0或k＜-$\sqrt{2}$，
故⑤錯誤，
故答案為：①②⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．