Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）設(shè)PM=tMC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°，試確定t的值．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點(diǎn)，可得四邊形BCDQ為平行四邊形，得到CD∥BQ．結(jié)合∠ADC=90°，得QB⊥AD．然后利用面面垂直的性質(zhì)得BQ⊥平面PAD．再由線面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；
（2）由PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，得PQ⊥AD．結(jié)合（1）可得PQ⊥平面ABCD．以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．然后求出平面BQC的一個(gè)法向量，再由PM=tMC把平面MBQ的一個(gè)法向量用含有t的代數(shù)式表示，結(jié)合二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°求得t的值．

解答 （1）求證：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
 如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
則面BQC的法向量為$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$；
Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}，0$）．
設(shè)M（x，y，z），則$\overrightarrow{PM}=（x，y，z-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{MC}=（-1-x，\sqrt{3}-y，-z）$，
∵PM=tMC，∴$\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{MC}$，則$\left\{\begin{array}{l}{x=t（-1-x）}\\{y=t（\sqrt{3}-y）}\\{z-\sqrt{3}=t（-z）}\end{array}\right.$，
即$x=-\frac{t}{1+t}，y=\frac{\sqrt{3}t}{1+t}，z=\frac{\sqrt{3}}{1+t}$，
在平面MBQ中，$\overrightarrow{QB}=（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{QM}=（-\frac{t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}}{1+t}）$，
設(shè)平面MBQ的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=0}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{-\frac{t}{1+t}x+\frac{\sqrt{3}t}{1+t}y+\frac{\sqrt{3}}{1+t}z=0}\end{array}\right.$，取z=t，得x=$\sqrt{3}$．
∴平面MBQ法向量為$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，0，t）$．
∵二面角M-BQ-C為30°，∴$cos30°=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}=\frac{t}{\sqrt{3+0+{t}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得t=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．