Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦點為F，不垂直x軸且不過F點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l經(jīng)過點P（2，0），則直線FA、FB的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）如果FA⊥FB，原點到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出A，B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，表示出直線AF，BF的斜率，計算斜率之和作出判斷；
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出A，B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，表示出直線AF，BF的斜率，令斜率之積為-1得出k，b的關(guān)系，代入距離公式得出d與b的關(guān)系，根據(jù)判別式得出b的范圍，從而得出d的范圍．

解答 解：（I）直線l的方程為y=k（x-2），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
又F（1，0），∴k_FA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{k{x}_{1}-2k}{{x}_{1}-1}$，k_FB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{2}-2k}{{x}_{2}-1}$，
∴k_FA+k_FB=$\frac{k{x}_{1}-2k}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}-2k}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$，
又2kx₁x₂-3k（x₁+x₂）+4k=2k•$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-3k•$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4k=$\frac{16{k}^{3}-4k-24{k}^{3}+4k+8{k}^{3}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴k_FA+k_FB=0，
即直線FA、FB的斜率之和是定值0．
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得（1+2k²）x²+4kbx+2（b²-1）=0，
∴△=16k²b²-8（1+2k²）（b²-1）=8（2k²+1-b²）＞0，
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則x₃+x₄=$\frac{-4kb}{1+2{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2（^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
∴k_FA=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}-1}$=$\frac{k{x}_{3}+b}{{x}_{3}-1}$，k_FB=$\frac{{y}_{4}}{{x}_{4}-1}$=$\frac{k{x}_{4}+b}{{x}_{4}-1}$，
若FA⊥FB，則$\frac{k{x}_{3}+b}{{x}_{3}-1}$•$\frac{k{x}_{4}+b}{{x}_{4}-1}$=-1，
即（k²+1）x₃x₄+（kb-1）（x₃+x₄）+b²+1=0，
∴（k²+1）•$\frac{2（^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$+（kb-1）•$\frac{-4kb}{1+2{k}^{2}}$+b²+1=0，
化簡得3b²+4kb-1=0，即k=$\frac{1-3^{2}}{4b}$，
代入判別式得△=b⁴+2b²+1＞0恒成立，
∴d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{\frac{（1-3^{2}）^{2}}{16^{2}}+1}}$=$\sqrt{\frac{16}{\frac{1}{^{4}}+\frac{10}{^{2}}+9}}$，
∵$\frac{1}{^{4}}$+$\frac{10}{^{2}}$+9＞9，
∴d＜$\sqrt{\frac{16}{9}}$=$\frac{4}{3}$．
∴d的取值范圍是（0，9）．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．