Question

10．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6	7	8
y	2.5	3	4	4.5	5.22	5.97

（1）請根據(jù)上表提供的前四列數(shù)據(jù)（對應(yīng)的x=3，4，5，6），用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（2）在誤差不超過0.05的條件下，利用x=7時，x=8來檢驗（1）所求回歸直線是否合適；
（3）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
（參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格分別求出x，y的平均數(shù)，求出系數(shù)$\widehat$，$\widehat{a}$的值，求出回歸方程即可；
（2）分別將x=7，8代入方程求出結(jié)果判斷即可；
（3）將x的值代入解析式計算即可．

解答 解：（1）$\overline{x}$=4.5；$\overline{y}$=3.5
$\stackrel{∧}$=$\frac{3.5}{5}$=0.7，$\widehat{a}$=0.35，
所以$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35，
（2）由（1）可知，
當(dāng)x=7時，y=5.25，5.25-5.22=0.03＜0.05
 當(dāng)x=8時，y=5.95，5.97-5.95=0.02＜0.05
 所以，此回歸直線符合條件；
（3）由（1）可知，當(dāng)x=100時，y=70.35（噸）
 所以，降低了90-70.35=19.65噸．

點評 本題考查了回歸方程問題以及回歸方程的應(yīng)用，考查計算能力，是一道中檔題．