Question

20．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanB=2，tanC=3．
（1）求角A的大��；
（2）若c=3，求b的長．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正切函數(shù)公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到tanA等于-tan（B+C），進(jìn)而得到tanA的值，結(jié)合A的范圍即可得解；
（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，sinC的值，進(jìn)而利用正弦定理即可得解b的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）因為：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）=$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{2+3}{1-2×3}$=-1，…（3分）
因為：A=180°-B-C，（4分）
所以：tanA=tan（180°-（B+C））=-tan（B+C）=1…（5分）
因為：A∈（0，π），
所以：A=$\frac{π}{4}$．
（2）因為：c=3，tanB=2，tanC=3．
所以：sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{3×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=2$\sqrt{2}$…（10分）

點評 本題主要考查了兩角和的正切函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．