【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)且時(shí)，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求得，然后分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）將所證不等式變形為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由可證得結(jié)論.

（1）由題意，得.

①若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③若，則是常值函數(shù)，不存在單調(diào)性.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，則即為.

不等式兩邊同時(shí)除以，得，得.

記函數(shù)，則.

設(shè).

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，.

所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以，即.

故得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.

（1）求證：BC⊥PC；

（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）存在，對(duì)任意，有不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）如果存在、，使得成立，求滿足條件的最大整數(shù)；

（3）對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線與曲線兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說(shuō)：“數(shù)學(xué)物理不分家，如果物理成績(jī)好，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒什么問(wèn)題。”某班針對(duì)“高中生物理學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進(jìn)行研究，得到了學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論。現(xiàn)從該班隨機(jī)抽取5位學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，如下表：

(1)求數(shù)學(xué)成績(jī)y對(duì)物理成績(jī)x的線性回歸方程。若某位學(xué)生的物理成績(jī)?yōu)?0分，預(yù)測(cè)他的數(shù)學(xué)成績(jī)；

(2)要從抽取的這5位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽，求選中的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)至少有一位高于120分的概率。（參考公式： 參考數(shù)據(jù)： ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸）中，圓的方程為

（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：

①的周期為；

②在上單調(diào)遞增；

③函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)；

④函數(shù)的最小值為.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（ ）

A.①②B.②③C.③④D.②④

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