【題目】M是橢圓T1ab0)上任意一點(diǎn),F是橢圓T的右焦點(diǎn),A為左頂點(diǎn),B為上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),如下圖所示,已知|MF|的最大值為3,且MAF面積最大值為3

1)求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程

2)求ABM的面積的最大值S0.若點(diǎn)Nxy)滿足xZ,yZ,稱點(diǎn)N為格點(diǎn).問橢圓T內(nèi)部是否存在格點(diǎn)G,使得ABG的面積S∈(6S0)?若存在,求出G的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】(1) (2)存在,坐標(biāo)為(2,﹣1

【解析】

1)由橢圓性質(zhì)可知,由已知條件得,且的最大值為2,即b=2,結(jié)合a,bc的關(guān)系可求出橢圓T的方程.

2)由題知直線AB的方程為,設(shè)直線與橢圓T相切于x軸下方的點(diǎn)M0,則ABM0的面積為ABM的面積的最大值S0.直線與橢圓聯(lián)立求出直線AB與直線l距離為,由此能求出(2,﹣1)為所求格點(diǎn)G

1)由橢圓性質(zhì)可知,

其中c0,c2a2b2,

因?yàn)?/span>xM[a,a],故|MF|[ac,a+c],即

MAF面積最大值為3.且 ,∴的最大值為2,即b=2,又b2a2c2

解之得

橢圓T的方程為

2)由題知直線AB的方程為,

設(shè)直線與橢圓T相切于x軸下方的點(diǎn)M0,

則△ABM0的面積為△ABM的面積的最大值S0.

此時,直線AB與直線l距離為,

,令,則

設(shè)直線到直線AB的距離為

則有,解得n=﹣26

注意到l1與直線AB平行且l1需與橢圓T應(yīng)有公共點(diǎn),

故只需考慮n=﹣2的情形.

直線經(jīng)過橢圓T的下頂點(diǎn)B00,﹣2)與右頂點(diǎn)A0,

則線段A0B0上任意一點(diǎn)G0AB組成的三角形的面積為6

根據(jù)題意若存在滿足題意的格點(diǎn)G,則G必在直線A0B0l之間.

而在橢圓內(nèi)部位于四象限的格點(diǎn)為(1,﹣1),(2,﹣1

因?yàn)?/span>,故(1,﹣1)在直線A0B0上方,不符題意

,則點(diǎn)(2,﹣1)在直線A0B0下方,

,點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,

所以(2,﹣1)為所求格點(diǎn)G

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(參考數(shù)據(jù):,,,

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