Question

18．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（a∈R⁺）在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，則$\frac{25}{a}$+a的取值范圍為（　　）

• A． [10，+∞）
• B． [$\frac{29}{2}$，+∞）
• C． [$\frac{25}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{41}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 首先對f（x）求導：f'（x）=x²-ax+1；函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（a∈R⁺）在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，即導函數(shù)f'（x）在[2，4]上恒有f'（x）≥0；求出a的范圍，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解$\frac{25}{a}$+a的取值范圍．

解答 解：對f（x）求導：f'（x）=x²-ax+1；
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（a∈R⁺）在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
即導函數(shù)f'（x）在[2，4]上恒有f'（x）≥0；
f'（x）為一元二次函數(shù)，其對稱軸為：x=$\frac{a}{2}$，開口朝上，
①當a≤4時，f'（2）≥0，即4-2a+1≥0，解得0＜a≤$\frac{5}{2}$．
②當4＜a＜8時，f'（$\frac{a}{2}$）≥0，即$\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+1≥0$，解得-2≤a≤2，無解不成立．
③當a≥8時，f'（4）≥0，即：16-4a+1≥0，解得a≤$\frac{17}{4}$，無解．
綜上：0＜a$≤\frac{5}{2}$．
則$\frac{25}{a}$+a≥2$\sqrt{\frac{25}{a}•a}$=10，當且僅當a=5時，則$\frac{25}{a}$+a取得最小值，
因為0＜a$≤\frac{5}{2}$．y=$\frac{25}{a}$+a是單調(diào)減函數(shù)，所以a=$\frac{5}{2}$時，$\frac{25}{a}$+a取得最小值：$\frac{25}{2}$．
$\frac{25}{a}$+a的取值范圍為：[$\frac{25}{2}$，+∞）．
故選：C．

點評 本題主要考查了對函數(shù)的求導運算，以及導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應用，屬中等題．