Question

5．已知定點(diǎn)F（0，1），定直線l：y=-1，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)F，且與直線l相切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓M的圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作曲線C的切線l₁，l₂，兩條切線相交于點(diǎn)P，求△PAB外接圓面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，即可求動(dòng)圓M的圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）證明△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)，線段AB是直徑．得到當(dāng)k=0時(shí)線段AB最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為4π．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，依題意|MF|=d．
設(shè)M（x，y），則有$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}$=|y+1|．
化簡(jiǎn)得x²=4y．
所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)l_AB：y=kx+1，
代入x²=4y中，得x²-4kx-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}$$•|{{x_1}-{x_2}}|=4（{{k^2}+1}）$．
因?yàn)镃：x²=4y，即$y=\frac{x^2}{4}$，所以$y'=\frac{x}{2}$．
所以直線l₁的斜率為${k_1}=\frac{x_1}{2}$，直線l₂的斜率為${k_2}=\frac{x_2}{2}$．
因?yàn)?{k_1}{k_2}=\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}=-1$，
所以PA⊥PB，即△PAB為直角三角形．
所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)，線段AB是直徑．
因?yàn)閨AB|=4（k²+1），
所以當(dāng)k=0時(shí)線段AB最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．