Question

20．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，$a_{n+2}^2+4a_n^2=4a_{n+1}^2$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=${2}^{\frac{n+1}{2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由a₁=2，$a_{n+2}^2+4a_n^2=4a_{n+1}^2$，可得$（{a}_{n}{q}^{2}）^{2}$+$4{a}_{n}^{2}$=4$（{a}_{n}q）^{2}$，化簡(jiǎn)解出q，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁=2，$a_{n+2}^2+4a_n^2=4a_{n+1}^2$，
∴$（{a}_{n}{q}^{2}）^{2}$+$4{a}_{n}^{2}$=4$（{a}_{n}q）^{2}$，化為：q⁴-4q²+4=0，
解得q²=2，q＞0，解得q=$\sqrt{2}$．
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$2×（\sqrt{2}）^{n-1}$=${2}^{\frac{n+1}{2}}$．
故答案為：${2}^{\frac{n+1}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．