分析 (1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),求出f′(1),求出切線方程即可;
(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(3)問題轉(zhuǎn)化為$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$=a(x-lnx)在x∈[2,3]上有解,令g(x)=$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$,x∈[2,3],令h(x)=a(x-lnx),x∈[2,3],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式組,解出即可.
解答 解:(1)a=0時,f(x)=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$,
f′(x)=$\frac{2}{{x}^{3}}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{{x}^{2}}(\frac{1}{x}-1)$,
f′(1)=0,
故切線方程是:y-1=0(x-1),即y=1;
(2)f′(x)=$\frac{(x-1)({ax}^{2}-2)}{{x}^{3}}$,(a>0),
令f′(x)=0,解得:x=1或$\sqrt{\frac{2}{a}}$,
①$\sqrt{\frac{2}{a}}$<1即a>2時,
在(0,$\sqrt{\frac{2}{a}}$)上f′(x)>0,f(x)遞增,
在($\sqrt{\frac{2}{a}}$,1)上,f′(x)<0,f(x)遞減,
(1,+∞)上,f′(x)>0,f(x)遞增,
②$\sqrt{\frac{2}{a}}$>1,即a∈(0,2)時,
在(0,1)上,f′(x)<0,f(x)遞減,
在(1,$\sqrt{\frac{2}{a}}$)上,f′(x)>0,f(x)遞增,
在($\sqrt{\frac{2}{a}}$,+∞)上,f′(x)<0,f(x)遞減;
③a=2時,f′(x)≥0,f(x)遞增;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=$\frac{5}{x}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$在x∈[2,3]上有解,
即$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$=a(x-lnx)在x∈[2,3]上有解,
令g(x)=$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$,x∈[2,3],
則g′(x)=$\frac{-{3x}^{2}-2x+6}{{x}^{4}}$<0在x∈[2,3]恒成立,
∴g(x)∈[$\frac{28}{27}$,$\frac{3}{2}$],
令h(x)=a(x-lnx),h′(x)=a(1-$\frac{1}{x}$)>0,
故h(x)在[2,3]遞增,h(x)∈[a(2-ln2),a(3-ln3)],
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{g(2)≥h(2)}\\{g(3)≤h(3)}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}≥a(2-ln2)}\\{\frac{28}{27}≤a(3-ln3)}\end{array}\right.$,
解得:$\frac{28}{27(3-ln3)}$≤a≤$\frac{3}{2(2-ln2)}$.
點評 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=log2x | B. | y=$\frac{1}{x^2}$ | C. | y=$\frac{1}{2^x}$ | D. | y=$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=x-4 | B. | y=2x-3 | C. | y=-x-6 | D. | y=3x-2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (11,8) | B. | (3,2) | C. | (-11,-6) | D. | (-3,0) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $(\frac{2}{e},\frac{3}{4})$ | B. | $[\frac{2}{e},\frac{3}{4})$ | C. | $(\frac{2}{e},1)$ | D. | $[\frac{2}{e},1)$ |
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